Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в углах Эйлера, направляющих косинусах и кватернионах

---

Прежде чем переходить к уравнениям пространственного движения твердого тела полезно изучить случай движения тела, имеющего неподвижную точку. Он удобен тем, что можно сосредоточиться на вращении и не задумываться о движении центра масс. Для получения уравнений движения удобно использовать теорему об изменении кинетического момента

\begin{equation} \frac{{d{{\bf{K}}_O}}}{{dt}} = {{\bf{M}}_O} \label{eq:eq1} \end{equation}

Здесь \( {\bf{K}}_O \) - вектор кинетического момента относительно неподвижной токи O , \({\bf{M}}_O\) - вектор момента относительно той же точки. Оба эти вектора должны быть заданы в инерциальной системе координат. Это же уравнение в связанной с телом системе координат записывается в виде: \begin{equation} \frac{{\tilde d{\bf{K}}_O^b}}{{dt}} + {{\bf{\omega }}^b} \times {\bf{K}}_O^b = {\bf{M}}_O^b \label{eq:eq2} \end{equation}

где \({\tilde d}\) - локальная производная (производная вектора, заданного координатами во вращающейся системе координат), \(\bf{\omega }\) - угловая скорость вращения связанной системы координат относительно инерциальной. Верхнем индексом будем обозначать систему координат, в которой задан вектор, в частности b - связанная с телом система координат, O или отсутствие индекса - инерциальная система координат.

Для перевода вектора из одной системы координат в другую используются матрицы перехода. Например, если радиус вектор точки задан своими координатами в i-ой и j-ой системе, то эти координаты связаны соотношениями \begin{equation} {{\bf{r}}^i} = {{\bf{A}}_{ij}}{{\bf{r}}^j} \end{equation} или в координатной форме \begin{equation} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_i}}\\ {{y_i}}\\ {{z_i}} \end{array}} \right] = {A_{ij}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_j}}\\ {{y_j}}\\ {{z_j}} \end{array}} \right] \end{equation} Здесь \(A_{ij}\) - матрица перехода из j-ой в i-ю систему координат. Для обратного перехода из j-ой в i-ю систему используется обратная матрица, которая в силу ортогональности совпадает с транспонированной: \begin{equation} {A_{ji}} = A_{ij}^{ - 1} = A_{ij}^T \end{equation} Введем две системы координат: инерциальную систему \(OXYZ\) и связанную \(Oxyz\), причем оси связанной системы координат являются главными осями тела. В главных осях тензор инерции тела имеет диагональный вид \begin{equation} J = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_x}}&0&0\\ 0&{{I_y}}&0\\ 0&0&{{I_z}} \end{array}} \right] \end{equation}

Запишем вектор угловой скорости в связанной системе координат: \begin{equation} {{\bf{\omega }}^b} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} p\\ q\\ r \end{array}} \right] \end{equation} где \(p=p(t), q=q(t), r=r(t)\) - некоторые функции времени. Учитывая, что \({\bf{K}}_O^b = J{{\bf{\omega }}^b}\), уравнение \eqref{eq:eq2} в координатной форме запишется в виде \begin{equation} {I_x}\dot p + ({I_z} - {I_y})qr = {M_x},\\ {I_y}\dot q + ({I_x} - {I_z})pr = {M_y},\\ {I_z}\dot r + ({I_y} - {I_x})pq = {M_z}, \label{eq:eq3} \end{equation} где \({M_x}, {M_y}, {M_z}\) - проекции внешнего момента на оси связанной системы координат. Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Будем считать, что движение происходит под действием силы тяжести. Вектор этой силы в инерциальной системе имеет координаты: \begin{equation} {{\bf{F}}^O} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ { - mg} \end{array}} \right] \end{equation} где \(m\) - масса, \(g\) - ускорение свободного падения. Зададим положение центра масс в связанной системе координат через радиус-вектор \begin{equation} {{\bf{\rho }}^b} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] \end{equation} Тогда вектор момента запишется в виде \begin{equation} {\bf{M}}_O^b = {{\bf{\rho }}^b} \times {{\bf{F}}^b} = {{\bf{\rho }}^b} \times {A_{bO}}{{\bf{F}}^O}\label{eq:eq4}\end{equation} Здесь \(A_{bO}\) - матрица перехода от связанной к инерциальной системе координат \begin{equation} {A_{bO}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}}&{{\beta _1}}&{{\gamma _1}}\\ {{\alpha _2}}&{{\beta _2}}&{{\gamma _2}}\\ {{\alpha _3}}&{{\beta _3}}&{{\gamma _3}} \end{array}} \right] \end{equation} Раскрывая матричное произведение в \eqref{eq:eq4}, получим \begin{equation} {\bf{M}}_O^b = mg\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {z{\gamma _2} - y{\gamma _3}}\\ {x{\gamma _3} - z{\gamma _1}}\\ {y{\gamma _1} - x{\gamma _2}} \end{array}} \right] \end{equation} С учетом последнего выражения уравнения \eqref{eq:eq3} запишутся в виде \begin{equation} {I_x}\dot p + ({I_z} - {I_y})qr = {m g (z{\gamma _2} - y{\gamma _3})},\\ {I_y}\dot q + ({I_x} - {I_z})pr = {m g (x{\gamma _3} - z{\gamma _1})},\\ {I_z}\dot r + ({I_y} - {I_x})pq = {m g (y{\gamma _1} - x{\gamma _2})}, \label{eq:eq5} \end{equation} Система уравнений \eqref{eq:eq5} содержит шесть неизвестных \(p, q, r, {\gamma _1}, {\gamma _2}, {\gamma _3}\). Для того чтобы система стала замкнутой необходимо дополнить ее тремя кинематическими уравнениями.

Кинематические уравнения Эйлера

Переход от инерциальной системы координат к связанной может быть осуществлен с помощью трех последовательных поворотов: на угол прецессии \(\psi\), нутации \(\theta\) и собственного вращения \(\varphi\). Угловая скорость вращения тела есть геометрическая сумма угловых скоростей этих поворотов: \begin{equation} {\bf{\omega }} = {{\bf{\omega }}_\psi } + {{\bf{\omega }}_\theta } + {{\bf{\omega }}_\varphi } \label{eq:eq6} \end{equation} Соответствующие матрицы поворота имеют вид: \begin{equation} {A_{1O}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \psi }&{\sin \psi }&0\\ { - \sin \psi }&{\cos \psi }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right],\quad {A_{21}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{\cos \theta }&{\sin \theta }\\ 0&{ - \sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right],\quad {A_{b2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi }&{\sin \varphi }&0\\ { - \sin \varphi }&{\cos \varphi }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right], \end{equation} Матрица перехода от инерциальной к связанной системе координат \({A_{bO}} = {A_{b2}}{A_{21}}{A_{1O}}\) имеет компоненты: \begin{equation} {A_{bO}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi \cos \psi - \sin \varphi \cos \theta \sin \psi }&{\cos \varphi \sin \psi + \sin \varphi \cos \theta \cos \psi }&{\sin \varphi \sin \theta }\\ { - \sin \varphi \cos \psi - \cos \varphi \cos \theta \sin \psi }&{ - \sin \varphi \sin \psi + \cos \varphi \cos \theta \cos \psi }&{\cos \varphi \sin \theta }\\ {\sin \theta \sin \psi }&{ - \sin \theta \cos \psi }&{\cos \theta } \end{array}} \right] \end{equation} Откуда следует, что \begin{equation} {\gamma _1} = \sin \varphi \sin \theta ,\quad {\gamma _2} = \cos \varphi \sin \theta ,\quad {\gamma _3} = \cos \theta , \end{equation}

Запишем координаты векторов угловых скоростей поворотов: \begin{equation} {\bf{\omega }}_\psi ^O = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \psi } \end{array}} \right],\quad {\bf{\omega }}_\theta ^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot \theta }\\ 0\\ 0 \end{array}} \right],\quad {\bf{\omega }}_\varphi ^b = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {\dot \varphi } \end{array}} \right],\end{equation} Используя матрицы перехода и \eqref{eq:eq6} можно получить связь между компонентами угловой скорости \(p, q, r\) и \(\dot \psi ,\,\dot \theta ,\,\dot \varphi \). \begin{equation} {{\bf{\omega }}^b} = {A_{bO}}{\bf{\omega }}_\psi ^O + {A_{b2}}{\bf{\omega }}_\theta ^2 + {\bf{\omega }}_\varphi ^b \end{equation} Эти уравнения называют кинематическими уравнениями Эйлера. \begin{equation} \begin{array}{l} p = \dot \psi \sin \theta \sin \varphi + \dot \theta \cos \varphi ,\\ q = \dot \psi \sin \theta \cos \varphi - \dot \theta \sin \varphi ,\\ r = \dot \varphi + \dot \psi \cos \theta . \end{array} \label{eq:eq7} \end{equation}

Кинематические уравнения Пуассона (направляющие косинусы)

Кинематические уравнения могут быть получены и непосредственно для направляющих косинусов - компонент матрицы \(A_{bO}\). Столбцы этой матрицы представляют собой координаты орт инерциальной системы в связанной системе координат. Поскольку эти вектора не меняются с течением времени ни по величине, ни по направлению, их полна производная равна нулю, откуда следует \begin{equation} \frac{{d{\bf{e}}_j^O}}{{dt}} = \frac{{\tilde d{\bf{e}}_j^b}}{{dt}} + {{\bf{\omega }}^b} \times {\bf{e}}_j^b = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{\tilde d{\bf{e}}_j^b}}{{dt}} = {\bf{e}}_j^b \times {{\bf{\omega }}^b} \end{equation} В координатной форме последнее уравнение принимает вид \begin{equation} \begin{array}{l} {{\dot \gamma }_1} = {\gamma _2}r - {\gamma _3}q,\\ {{\dot \gamma }_2} = {\gamma _3}p - {\gamma _1}r,\\ {{\dot \gamma }_3} = {\gamma _1}q - {\gamma _2}p. \end{array} \label{eq:eq8} \end{equation} Полученные уравнения называются уравнениями Пуассона, и совместно с уравнениями \eqref{eq:eq5} они составляют замкнутую систему.

Кинематические уравнения Родрига-Гамильтона (кватернионы)

Не вдаваясь в подробности запишем кинематические уравнения Родрига-Гамильтона \begin{equation} \begin{array}{l} {{\dot \lambda }_0} = - \frac{{p{\lambda _1} + q{\lambda _2} + r{\lambda _3}}}{2},\\ {{\dot \lambda }_1} = \frac{{p{\lambda _0} + r{\lambda _2} - q{\lambda _3}}}{2},\\ {{\dot \lambda }_2} = \frac{{q{\lambda _0} + p{\lambda _3} - r{\lambda _1}}}{2},\\ {{\dot \lambda }_3} = \frac{{r{\lambda _0} + q{\lambda _1} - p{\lambda _2}}}{2}. \end{array} \label{eq:eq9} \end{equation} Компоненты матрицы направляющих косинусов \begin{equation} \begin{array}{l} {\alpha _1} = \lambda _0^2 + \lambda _1^2 - \lambda _2^2 - \lambda _3^2,\\ {\beta _1} = 2({\lambda _1}{\lambda _2} + {\lambda _0}{\lambda _3}),\\ {\gamma _1} = 2({\lambda _1}{\lambda _3} - {\lambda _0}{\lambda _2}),\\ {\alpha _2} = 2({\lambda _1}{\lambda _2} - {\lambda _0}{\lambda _3}),\\ {\beta _2} = \lambda _0^2 - \lambda _1^2 + \lambda _2^2 - \lambda _3^2,\\ {\gamma _2} = 2({\lambda _2}{\lambda _3} + {\lambda _0}{\lambda _1}),\\ {\alpha _3} = 2({\lambda _1}{\lambda _3} + {\lambda _0}{\lambda _2}),\\ {\beta _3} = 2({\lambda _2}{\lambda _3} - {\lambda _0}{\lambda _1}),\\ {\gamma _3} = \lambda _0^2 - \lambda _1^2 - \lambda _2^2 + \lambda _3^2, \end{array} \end{equation} Запишем также уравнения, устанавливающие связь между компонентами кватерниона и направляющими косинусами \begin{equation}\begin{array}{l} {\lambda _0} = \cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{{\psi \varphi}}{2},\\ {\lambda _1} = \sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{{\psi - \varphi}}{2},\\ {\lambda _2} = \sin \frac{\theta }{2}\sin \frac{{\psi - \varphi}}{2},\\ {\lambda _3} = \cos \frac{\theta }{2}\sin \frac{{\psi + \varphi}}{2}, \end{array} \end{equation}

Моделирование движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в Matlab

С целью проверки правильности приведенных выше формул была разработана программа, в которой для одинаковых тел и начальных условий проведено численное интегрирование трех систем уравнений: в углах Эйлера (файл F_e.m), в направляющих косинусах (файл F_c.m)и в кватернионах (файл F_q.m). Результаты совпали. Файл с моделями можно скачать здесь.